关于计量经济学里的对数问题

蔡德仁

关于为什么计量经济学喜欢用对数：计量经济学中大量的模型都喜欢一个假设：【总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和】。


例如，某个生产过程，产量Q，固定资本K，劳动量L，那么这种假设认为（在其他因素不影响生产率的情况下）
dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L。
（计量经济学经常把取增长率算符dX/X简写作符号ΔX，所以也可以说是ΔQ=aΔK+bΔL）
这里，a是资本增长率对产量增长率的贡献，b是劳动增长率对产量增长率的贡献。都是常数。
假如固定资本增长率和劳动增长率一样均匀增长，那么符合常识的结果应该是这时产出也按照同样的增长率增长。（简单规模扩张）也就是a+b=1。
dQ/Q=a*dK/K+(1-a)*dL/L。直接用这个式子不加任何修正的，“主流”经济学称为索洛模型。
至于为什么一定是dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L，不是别的数学关系，这在总体上其实不是很符合事实。（也就是说，现实中，不同要素不同速增长时产出和要素的度量完全可能是其他关系，而不是接近增长率线性叠加的关系。）

而在形如“总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和”的关系里面，对数就是和它等价的数学表达。
dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L
两边积分，得到
ln (Q/Q0)=a ln (K/K0)+b ln (L/L0)
这里Q0，K0，L0是任意一组QKL的实际值（你可以理解为初值）。如果不理解式子，可能需要复习一下微积分。

所以，可以看到，这种对数表达实质上就是假设了【总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和】。或者说，【不同要素增长率可以按固定比例互相替换而不改变总增长率。】

我们已经说了，这个数学关系往往不符合事实。那么为什么它还常用呢？除了推导方便，更重要的是它【在增长率变化不大时】总可以做近似，也就是用一阶的微分去近似增长。只要研究的状态中变量（各个增长率）取值相比初始状态变化很小，这种近似一般误差不大。

例如说，两个条件差不多的工厂，A厂年固定资本增长率3.9%劳动增长率5.0%，B厂年固定资本增长率4.0%劳动增长率4.8%，但他们的总产出增长率是一样的。假如我们真的排除了其它因素的影响，按这个理论可以假设0.1%的固定资本增长等于0.2%的劳动增长。这样假如有个C厂年固定资本增长率3.7%，我们可以认为它要5.4%的年劳动增长才能保持和AB厂一样的总产出增长率。

但如果这个C厂是1.5%的年固定资本增长率，那这个已经偏离初始状态太远了，就很难认为这个估计还能有效。在这种情况下，对数（增长率线性分解）模型是不好用的。

蔡德仁

不少社科研究滥用增长率线性分解的模型，明明研究的不同状态之间数值差很大，但很多研究还是没有做足够的线性性检验（检验增长率线性分解是不是真的接近实际统计），反而喜欢把线性增长率分解出来的增长率和实际值在不同状态附近的余量（“误差”）不加检验地用一个新变量去解释（比如内生性之类的），有时候这会对理论做出假解释，这在实际研究中需要经常注意。

单纯因为对数方便数学推导就随意取对数而不管实际统计就本末倒置了。

蔡德仁

总之一句话，取对数就是认为“总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和。”或者说，“不同要素增长率可以按固定比例互相替换而保持总增长率。”的意思。

至于数学式子问题，应该去数学网站查微积分。